Resolver 2x^2-58x+200=0

$$2 x ^ { 2 } - 58 x + 200 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=4$$

$$x=25$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x^{2}-29x+100=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, x^{2}+ax+bx+100 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-29 ab=1\times 100=100$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 100 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-100 -2,-50 -4,-25 -5,-20 -10,-10$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-100=-101 -2-50=-52 -4-25=-29 -5-20=-25 -10-10=-20$$

-29 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-25 b=-4$$

Berridatzi x^{2}-29x+100 honela: \left(x^{2}-25x\right)+\left(-4x+100\right).

$$\left(x^{2}-25x\right)+\left(-4x+100\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta -4 bigarren taldean.

$$x\left(x-25\right)-4\left(x-25\right)$$

Deskonposatu x-25 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-25\right)\left(x-4\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-25=0 eta x-4=0.

$$x=25 x=4$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}-58x+200=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, -58 balioa b balioarekin, eta 200 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{\left(-58\right)^{2}-4\times 2\times 200}}{2\times 2}$$

Egin -58 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{3364-4\times 2\times 200}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{3364-8\times 200}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider 200.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{3364-1600}}{2\times 2}$$

Gehitu 3364 eta -1600.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{1764}}{2\times 2}$$

Atera 1764 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±42}{2\times 2}$$

-58 zenbakiaren aurkakoa 58 da.

$$x=\frac{58±42}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{58±42}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{58±42}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 58 eta 42.

$$x=\frac{100}{4}$$

Zatitu 100 balioa 4 balioarekin.

$$x=25$$

Orain, ebatzi x=\frac{58±42}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 42 ken 58.

$$x=\frac{16}{4}$$

Zatitu 16 balioa 4 balioarekin.

$$x=4$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=25 x=4$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}-58x+200=0$$

Egin ken 200 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}-58x+200-200=-200$$

200 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}-58x=-200$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}-58x}{2}=-\frac{200}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{58}{2}\right)x=-\frac{200}{2}$$

Zatitu -58 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}-29x=-\frac{200}{2}$$

Zatitu -200 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}-29x=-100$$

Zatitu -29 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{29}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{29}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-29x+\left(-\frac{29}{2}\right)^{2}=-100+\left(-\frac{29}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{29}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-29x+\frac{841}{4}=-100+\frac{841}{4}$$

Gehitu -100 eta \frac{841}{4}.

$$x^{2}-29x+\frac{841}{4}=\frac{441}{4}$$

Atera x^{2}-29x+\frac{841}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{29}{2}\right)^{2}=\frac{441}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{29}{2}=\frac{21}{2} x-\frac{29}{2}=-\frac{21}{2}$$

Gehitu \frac{29}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=25 x=4$$