Resolver 2x^2-4x+1<0

$$2 x ^ { 2 } - 4 x + 1 < 0$$

Ebatzi: x

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Desberdintasuna ebazteko, faktorizatu ezkerraldea. Polinomio koadratikoa faktorizatzeko, eraldaketa hau erabil daiteke: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Bertan, x_{1} eta x_{2} dira ax^{2}+bx+c=0 ekuazio koadratikoaren soluzioak.

$$2x^{2}-4x+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 erako ekuazio guztiak formula koadratiko honen bidez ebatz daitezke: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, -4 balioa b balioarekin, eta 1 balioa c balioarekin formula koadratikoan.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

Egin kalkuluak.

$$x=\frac{4±2\sqrt{2}}{4}$$

Ebatzi x=\frac{4±2\sqrt{2}}{4} ekuazioa ± plus denean eta ± minus denean.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Berridatzi desberdintasuna lortutako emaitzen arabera.

$$2\left(x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)<0$$

Biderkadura negatiboa izan dadin, x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) eta x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) balioek kontrako zeinuak izan behar dituzte. Hartu kasua kontuan x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) positiboa denean etax-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) negatiboa denean.

$$x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)>0 x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)<0$$

Hori beti gezurra da x guztien kasuan.

$$x\in \emptyset$$

Hartu kasua kontuan x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) positiboa denean etax-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) negatiboa denean.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)>0 x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)<0$$

Desberdintasun biei egokitzen zaien soluzioa x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) da.

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)$$

Lortutako soluzioen batasuna da azken soluzioa.

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)$$