Resolver 2x^2-3x-5=0

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 5 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 2x^{2}+ax+bx-5 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-3 ab=2\left(-5\right)=-10$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -10 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-10 2,-5$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

-3 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-5 b=2$$

Berridatzi 2x^{2}-3x-5 honela: \left(2x^{2}-5x\right)+\left(2x-5\right).

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(2x-5\right)$$

Deskonposatu x 2x^{2}-5x taldean.

$$x\left(2x-5\right)+2x-5$$

Deskonposatu 2x-5 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(2x-5\right)\left(x+1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 2x-5=0 eta x+1=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}-3x-5=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, -3 balioa b balioarekin, eta -5 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Egin -3 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider -5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+40}}{2\times 2}$$

Gehitu 9 eta 40.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Atera 49 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±7}{2\times 2}$$

-3 zenbakiaren aurkakoa 3 da.

$$x=\frac{3±7}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{3±7}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{3±7}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 3 eta 7.

$$x=\frac{10}{4}$$

Murriztu \frac{10}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{5}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{3±7}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 7 ken 3.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Zatitu -4 balioa 4 balioarekin.

$$x=-1$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}-3x-5=0$$

Gehitu 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}-3x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

-5 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}-3x=-\left(-5\right)$$

Egin -5 ken 0.

$$2x^{2}-3x=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{5}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

Zatitu -\frac{3}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{3}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{3}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{3}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

Gehitu \frac{5}{2} eta \frac{9}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{49}{16}$$

Atera x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$$

Gehitu \frac{3}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$