Resolver 2x^2-3x+3=0

$$2 x ^ { 2 } - 3 x + 3 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{15}i}{4}\approx 0.75+0.968245837i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i+3}{4}\approx 0.75-0.968245837i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}-3x+3=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, -3 balioa b balioarekin, eta 3 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Egin -3 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\times 3}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-24}}{2\times 2}$$

Gehitu 9 eta -24.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-15}}{2\times 2}$$

Atera -15 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{15}i}{2\times 2}$$

-3 zenbakiaren aurkakoa 3 da.

$$x=\frac{3±\sqrt{15}i}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{3±\sqrt{15}i}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{3±\sqrt{15}i}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 3 eta i\sqrt{15}.

$$x=\frac{3+\sqrt{15}i}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{3±\sqrt{15}i}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{15} ken 3.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i+3}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{3+\sqrt{15}i}{4} x=\frac{-\sqrt{15}i+3}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}-3x+3=0$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}-3x+3-3=-3$$

3 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}-3x=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=-\frac{3}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Zatitu -\frac{3}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{3}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{3}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{3}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{9}{16}$$

Gehitu -\frac{3}{2} eta \frac{9}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{15}{16}$$

Atera x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{15}i}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{15}i}{4}$$

Gehitu \frac{3}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{3+\sqrt{15}i}{4} x=\frac{-\sqrt{15}i+3}{4}$$