Resolver 2x^2-24x+54=0

$$2 x ^ { 2 } - 24 x + 54 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=3$$

$$x=9$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x^{2}-12x+27=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, x^{2}+ax+bx+27 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-12 ab=1\times 27=27$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 27 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-27 -3,-9$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-27=-28 -3-9=-12$$

-12 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-9 b=-3$$

Berridatzi x^{2}-12x+27 honela: \left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta -3 bigarren taldean.

$$x\left(x-9\right)-3\left(x-9\right)$$

Deskonposatu x-9 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-9\right)\left(x-3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-9=0 eta x-3=0.

$$x=9 x=3$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, -24 balioa b balioarekin, eta 54 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Egin -24 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-8\times 54}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider 54.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-432}}{2\times 2}$$

Gehitu 576 eta -432.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{144}}{2\times 2}$$

Atera 144 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±12}{2\times 2}$$

-24 zenbakiaren aurkakoa 24 da.

$$x=\frac{24±12}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{24±12}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{24±12}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 24 eta 12.

$$x=\frac{36}{4}$$

Zatitu 36 balioa 4 balioarekin.

$$x=9$$

Orain, ebatzi x=\frac{24±12}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 12 ken 24.

$$x=\frac{12}{4}$$

Zatitu 12 balioa 4 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=9 x=3$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

Egin ken 54 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}-24x+54-54=-54$$

54 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}-24x=-54$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}-24x}{2}=-\frac{54}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{2}\right)x=-\frac{54}{2}$$

Zatitu -24 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}-12x=-\frac{54}{2}$$

Zatitu -54 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}-12x=-27$$

Zatitu -12 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -6 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -6 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-27+\left(-6\right)^{2}$$

Egin -6 ber bi.

$$x^{2}-12x+36=-27+36$$

Gehitu -27 eta 36.

$$x^{2}-12x+36=9$$

Atera x^{2}-12x+36 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-6\right)^{2}=9$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Sinplifikatu.

$$x-6=3 x-6=-3$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=9 x=3$$