Resolver 2x^2-2x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1.366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0.366025404$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, -2 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Egin -2 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Gehitu 4 eta 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Atera 12 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

-2 zenbakiaren aurkakoa 2 da.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 2 eta 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

Zatitu 2+2\sqrt{3} balioa 4 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{3} ken 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

Zatitu 2-2\sqrt{3} balioa 4 balioarekin.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Egin -1 ken 0.

$$2x^{2}-2x=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

Zatitu -2 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Zatitu -1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Gehitu \frac{1}{2} eta \frac{1}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Atera x^{2}-x+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Gehitu \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$