Resolver 2x^2-10x=6+11sqrt{x^2-5x}

$$2 x ^ { 2 } - 10 x = 6 + 11 \sqrt { x ^ { 2 } - 5 x }$$

Ebatzi: x

$$x=-4$$

$$x=9$$

Ebazpidea

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}$$

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(2x^{2}-10x-6\right)^{2}=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Egin 2x^{2}-10x-6 ber bi.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Garatu \left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=11^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

121 lortzeko, egin 11 ber 2.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

x^{2}-5x lortzeko, egin \sqrt{x^{2}-5x} ber 2.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(x^{2}-5x\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 121 eta x^{2}-5x biderkatzeko.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121x^{2}-605x$$

Kendu 121x^{2} bi aldeetatik.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36-121x^{2}=-605x$$

-45x^{2} lortzeko, konbinatu 76x^{2} eta -121x^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36=-605x$$

Gehitu 605x bi aldeetan.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36+605x=0$$

725x lortzeko, konbinatu 120x eta 605x.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36=0$$

Erro arrazionalaren teoremari jarraikiz, polinomioen erro arrazional guztiek \frac{p}{q} forma dute, non p balioak 36 balio konstantea zatitzen duen, eta q balioak 4 koefiziente nagusia zatitzen duen. Zerrendatu hautagai guztiak \frac{p}{q}.

$$±9,±18,±36,±\frac{9}{2},±3,±6,±12,±\frac{9}{4},±\frac{3}{2},±1,±2,±4,±\frac{3}{4},±\frac{1}{2},±\frac{1}{4}$$

Aurkitu halako erro bat osoko balio guztiak probatuta, balio txikienetik hasita, eta balio absolutuak erabiliz. Ez baduzu aurkitzen osoko errorik, probatu zatikiak.

$$x=-4$$

Biderkagaien teoremari jarraikiz, polinomioaren biderkagai bat da x-k, k erro bakoitzeko. 4x^{3}-56x^{2}+179x+9 lortzeko, zatitu 4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36 x+4 balioarekin. Ebatzi ekuazioa, hura eta 0 berdinak izan arte.

$$4x^{3}-56x^{2}+179x+9=0$$

Erro arrazionalaren teoremari jarraikiz, polinomioen erro arrazional guztiek \frac{p}{q} forma dute, non p balioak 9 balio konstantea zatitzen duen, eta q balioak 4 koefiziente nagusia zatitzen duen. Zerrendatu hautagai guztiak \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Aurkitu halako erro bat osoko balio guztiak probatuta, balio txikienetik hasita, eta balio absolutuak erabiliz. Ez baduzu aurkitzen osoko errorik, probatu zatikiak.

$$x=9$$

Biderkagaien teoremari jarraikiz, polinomioaren biderkagai bat da x-k, k erro bakoitzeko. 4x^{2}-20x-1 lortzeko, zatitu 4x^{3}-56x^{2}+179x+9 x-9 balioarekin. Ebatzi ekuazioa, hura eta 0 berdinak izan arte.

$$4x^{2}-20x-1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 erako ekuazio guztiak formula koadratiko honen bidez ebatz daitezke: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -20 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Egin kalkuluak.

$$x=\frac{20±4\sqrt{26}}{8}$$

Ebatzi 4x^{2}-20x-1=0 ekuazioa ± plus denean eta ± minus denean.

$$x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Zerrendatu aurkitutako ebazpen guztiak.

$$x=-4 x=9 x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Ordeztu -4 balioa x balioarekin 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x} ekuazioan.

$$2\left(-4\right)^{2}-10\left(-4\right)=6+11\sqrt{\left(-4\right)^{2}-5\left(-4\right)}$$

Sinplifikatu. x=-4 balioak ekuazioa betetzen du.

$$72=72$$

Ordeztu 9 balioa x balioarekin 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x} ekuazioan.

$$2\times 9^{2}-10\times 9=6+11\sqrt{9^{2}-5\times 9}$$

Sinplifikatu. x=9 balioak ekuazioa betetzen du.

$$72=72$$

Ordeztu \frac{5-\sqrt{26}}{2} balioa x balioarekin 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x} ekuazioan.

$$2\times \left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-10\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-5\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}}$$

Sinplifikatu. x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} balioak ez du betetzen ekuazioa.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

Ordeztu \frac{\sqrt{26}+5}{2} balioa x balioarekin 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x} ekuazioan.

$$2\times \left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-10\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-5\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}}$$

Sinplifikatu. x=\frac{\sqrt{26}+5}{2} balioak ez du betetzen ekuazioa.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

Zerrendatu honen soluzio guztiak: 2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$x=-4 x=9$$