Resolver 2x^2+7x-15=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 15 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 2x^{2}+ax+bx-15 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=7 ab=2\left(-15\right)=-30$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -30 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

7 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-3 b=10$$

Berridatzi 2x^{2}+7x-15 honela: \left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 5 bigarren taldean.

$$x\left(2x-3\right)+5\left(2x-3\right)$$

Deskonposatu 2x-3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(2x-3\right)\left(x+5\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 2x-3=0 eta x+5=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, 7 balioa b balioarekin, eta -15 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Egin 7 ber bi.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider -15.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 2}$$

Gehitu 49 eta 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Atera 169 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{-7±13}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-7±13}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -7 eta 13.

$$x=\frac{6}{4}$$

Murriztu \frac{6}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{3}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-7±13}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 13 ken -7.

$$x=-\frac{20}{4}$$

Zatitu -20 balioa 4 balioarekin.

$$x=-5$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

Gehitu 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}+7x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}+7x=-\left(-15\right)$$

Egin -15 ken 0.

$$2x^{2}+7x=15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{15}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{15}{2}$$

Zatitu \frac{7}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{7}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{7}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Egin \frac{7}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{15}{2}+\frac{49}{16}$$

Gehitu \frac{15}{2} eta \frac{49}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{169}{16}$$

Atera x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{13}{4}$$

Egin ken \frac{7}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$