Resolver 2x^2+7x+3=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x + 3 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-3$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 2x^{2}+ax+bx+3 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=7 ab=2\times 3=6$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Zerrendatu 6 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,6 2,3$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1+6=7 2+3=5$$

7 batura duen parea da soluzioa.

$$a=1 b=6$$

Berridatzi 2x^{2}+7x+3 honela: \left(2x^{2}+x\right)+\left(6x+3\right).

$$\left(2x^{2}+x\right)+\left(6x+3\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 3 bigarren taldean.

$$x\left(2x+1\right)+3\left(2x+1\right)$$

Deskonposatu 2x+1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(2x+1\right)\left(x+3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 2x+1=0 eta x+3=0.

$$x=-\frac{1}{2} x=-3$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}+7x+3=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, 7 balioa b balioarekin, eta 3 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Egin 7 ber bi.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\times 3}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider 3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24}}{2\times 2}$$

Gehitu 49 eta -24.

$$x=\frac{-7±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Atera 25 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-7±5}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{-7±5}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-7±5}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -7 eta 5.

$$x=-\frac{2}{4}$$

Murriztu \frac{-2}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-7±5}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 5 ken -7.

$$x=-\frac{12}{4}$$

Zatitu -12 balioa 4 balioarekin.

$$x=-3$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-\frac{1}{2} x=-3$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}+7x+3=0$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}+7x+3-3=-3$$

3 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}+7x=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=-\frac{3}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Zatitu \frac{7}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{7}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{7}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Egin \frac{7}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{49}{16}$$

Gehitu -\frac{3}{2} eta \frac{49}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{25}{16}$$

Atera x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{5}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{5}{4}$$

Egin ken \frac{7}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{1}{2} x=-3$$