Resolver 2x^2+5x+4=0

$$2 x ^ { 2 } + 5 x + 4 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{7}i}{4}\approx -1.25+0.661437828i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-5}{4}\approx -1.25-0.661437828i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}+5x+4=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, 5 balioa b balioarekin, eta 4 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Egin 5 ber bi.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\times 4}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider 4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-32}}{2\times 2}$$

Gehitu 25 eta -32.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-7}}{2\times 2}$$

Atera -7 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-5±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{7}i}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-5±\sqrt{7}i}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -5 eta i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{7}i}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-5±\sqrt{7}i}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{7} ken -5.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-5}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-5+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i-5}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}+5x+4=0$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}+5x+4-4=-4$$

4 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}+5x=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=-\frac{4}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=-\frac{4}{2}$$

Zatitu -4 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=-2$$

Zatitu \frac{5}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{5}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{5}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=-2+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Egin \frac{5}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-2+\frac{25}{16}$$

Gehitu -2 eta \frac{25}{16}.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{7}{16}$$

Atera x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

Egin ken \frac{5}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-5+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i-5}{4}$$