Resolver 2x^2+4x-5leq0

$$2 x ^ { 2 } + 4 x - 5 \leq 0$$

Ebatzi: x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{14}}{2}-1,\frac{\sqrt{14}}{2}-1\end{bmatrix}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Desberdintasuna ebazteko, faktorizatu ezkerraldea. Polinomio koadratikoa faktorizatzeko, eraldaketa hau erabil daiteke: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Bertan, x_{1} eta x_{2} dira ax^{2}+bx+c=0 ekuazio koadratikoaren soluzioak.

$$2x^{2}+4x-5=0$$

ax^{2}+bx+c=0 erako ekuazio guztiak formula koadratiko honen bidez ebatz daitezke: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, 4 balioa b balioarekin, eta -5 balioa c balioarekin formula koadratikoan.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Egin kalkuluak.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{14}}{4}$$

Ebatzi x=\frac{-4±2\sqrt{14}}{4} ekuazioa ± plus denean eta ± minus denean.

$$x=\frac{\sqrt{14}}{2}-1 x=-\frac{\sqrt{14}}{2}-1$$

Berridatzi desberdintasuna lortutako emaitzen arabera.

$$2\left(x-\left(\frac{\sqrt{14}}{2}-1\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{14}}{2}-1\right)\right)\leq 0$$

Biderkadura ≤0 izan dadin, x-\left(\frac{\sqrt{14}}{2}-1\right) eta x-\left(-\frac{\sqrt{14}}{2}-1\right) balioetako bat ≥0 izan behar da, eta bestea ≤0 izan behar da. Hartu kasua kontuan x-\left(\frac{\sqrt{14}}{2}-1\right)\geq 0 eta x-\left(-\frac{\sqrt{14}}{2}-1\right)\leq 0.

$$x-\left(\frac{\sqrt{14}}{2}-1\right)\geq 0 x-\left(-\frac{\sqrt{14}}{2}-1\right)\leq 0$$

Hori beti gezurra da x guztien kasuan.

$$x\in \emptyset$$

Hartu kasua kontuan x-\left(\frac{\sqrt{14}}{2}-1\right)\leq 0 eta x-\left(-\frac{\sqrt{14}}{2}-1\right)\geq 0.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{14}}{2}-1\right)\geq 0 x-\left(\frac{\sqrt{14}}{2}-1\right)\leq 0$$

Desberdintasun biei egokitzen zaien soluzioa x\in \left[-\frac{\sqrt{14}}{2}-1,\frac{\sqrt{14}}{2}-1\right] da.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{14}}{2}-1,\frac{\sqrt{14}}{2}-1\end{bmatrix}$$

Lortutako soluzioen batasuna da azken soluzioa.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{14}}{2}-1,\frac{\sqrt{14}}{2}-1\end{bmatrix}$$