Resolver 2x^2+3x-90=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 90 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$x=6$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 2x^{2}+ax+bx-90 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=3 ab=2\left(-90\right)=-180$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -180 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

3 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-12 b=15$$

Berridatzi 2x^{2}+3x-90 honela: \left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right).

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right)$$

Deskonposatu 2x lehen taldean, eta 15 bigarren taldean.

$$2x\left(x-6\right)+15\left(x-6\right)$$

Deskonposatu x-6 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-6\right)\left(2x+15\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-6=0 eta 2x+15=0.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, 3 balioa b balioarekin, eta -90 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Egin 3 ber bi.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider -90.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2\times 2}$$

Gehitu 9 eta 720.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

Atera 729 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-3±27}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{-3±27}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-3±27}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -3 eta 27.

$$x=\frac{24}{4}$$

Zatitu 24 balioa 4 balioarekin.

$$x=6$$

Orain, ebatzi x=\frac{-3±27}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 27 ken -3.

$$x=-\frac{30}{4}$$

Murriztu \frac{-30}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Gehitu 90 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}+3x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

-90 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}+3x=-\left(-90\right)$$

Egin -90 ken 0.

$$2x^{2}+3x=90$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{90}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{90}{2}$$

Zatitu 90 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=45$$

Zatitu \frac{3}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{3}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{3}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=45+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Egin \frac{3}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=45+\frac{9}{16}$$

Gehitu 45 eta \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{729}{16}$$

Atera x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{729}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{27}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{27}{4}$$

Egin ken \frac{3}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$