Resolver 2x^2+3x-20=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 20 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 2x^{2}+ax+bx-20 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -40 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

3 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-5 b=8$$

Berridatzi 2x^{2}+3x-20 honela: \left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right).

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 4 bigarren taldean.

$$x\left(2x-5\right)+4\left(2x-5\right)$$

Deskonposatu 2x-5 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(2x-5\right)\left(x+4\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 2x-5=0 eta x+4=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, 3 balioa b balioarekin, eta -20 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Egin 3 ber bi.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+160}}{2\times 2}$$

Gehitu 9 eta 160.

$$x=\frac{-3±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Atera 169 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-3±13}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{-3±13}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-3±13}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -3 eta 13.

$$x=\frac{10}{4}$$

Murriztu \frac{10}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{5}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-3±13}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 13 ken -3.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Zatitu -16 balioa 4 balioarekin.

$$x=-4$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

Gehitu 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}+3x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

-20 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}+3x=-\left(-20\right)$$

Egin -20 ken 0.

$$2x^{2}+3x=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{20}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{20}{2}$$

Zatitu 20 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=10$$

Zatitu \frac{3}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{3}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{3}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Egin \frac{3}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

Gehitu 10 eta \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

Atera x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

Egin ken \frac{3}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$