Resolver 2x^2+3x+17=1

$$2 x ^ { 2 } + 3 x + 17 = 1$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{119}i}{4}\approx -0.75+2.727178029i$$

$$x=\frac{-\sqrt{119}i-3}{4}\approx -0.75-2.727178029i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}+3x+17=1$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}+3x+17-1=1-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}+3x+17-1=0$$

Egin 1 ken 17.

$$2x^{2}+3x+16=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, 3 balioa b balioarekin, eta 16 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

Egin 3 ber bi.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\times 16}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider 16.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-128}}{2\times 2}$$

Gehitu 9 eta -128.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-119}}{2\times 2}$$

Atera -119 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-3±\sqrt{119}i}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{119}i}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-3±\sqrt{119}i}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -3 eta i\sqrt{119}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{119}i}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-3±\sqrt{119}i}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{119} ken -3.

$$x=\frac{-\sqrt{119}i-3}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-3+\sqrt{119}i}{4} x=\frac{-\sqrt{119}i-3}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}+3x+17=1$$

Egin ken 17 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}+3x+17-17=1-17$$

17 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}+3x=1-17$$

Egin 17 ken 1.

$$2x^{2}+3x=-16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=-\frac{16}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{16}{2}$$

Zatitu -16 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-8$$

Zatitu \frac{3}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{3}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{3}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-8+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Egin \frac{3}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-8+\frac{9}{16}$$

Gehitu -8 eta \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{119}{16}$$

Atera x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{119}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{119}i}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{119}i}{4}$$

Egin ken \frac{3}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-3+\sqrt{119}i}{4} x=\frac{-\sqrt{119}i-3}{4}$$