Resolver 2x^2+2x-24=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x - 24 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-4$$

$$x=3$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x^{2}+x-12=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, x^{2}+ax+bx-12 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=1 ab=1\left(-12\right)=-12$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -12 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

1 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-3 b=4$$

Berridatzi x^{2}+x-12 honela: \left(x^{2}-3x\right)+\left(4x-12\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(4x-12\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 4 bigarren taldean.

$$x\left(x-3\right)+4\left(x-3\right)$$

Deskonposatu x-3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-3\right)\left(x+4\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-3=0 eta x+4=0.

$$x=3 x=-4$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}+2x-24=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, 2 balioa b balioarekin, eta -24 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Egin 2 ber bi.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider -24.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+192}}{2\times 2}$$

Gehitu 4 eta 192.

$$x=\frac{-2±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Atera 196 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-2±14}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{-2±14}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-2±14}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -2 eta 14.

$$x=\frac{12}{4}$$

Zatitu 12 balioa 4 balioarekin.

$$x=3$$

Orain, ebatzi x=\frac{-2±14}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 14 ken -2.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Zatitu -16 balioa 4 balioarekin.

$$x=-4$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=3 x=-4$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}+2x-24=0$$

Gehitu 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}+2x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

-24 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}+2x=-\left(-24\right)$$

Egin -24 ken 0.

$$2x^{2}+2x=24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=\frac{24}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=\frac{24}{2}$$

Zatitu 2 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}+x=\frac{24}{2}$$

Zatitu 24 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}+x=12$$

Zatitu 1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=12+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=12+\frac{1}{4}$$

Gehitu 12 eta \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{49}{4}$$

Atera x^{2}+x+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{7}{2}$$

Egin ken \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=3 x=-4$$