Resolver 2x^2+2x+4=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x + 4 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}\approx -0.5+1.322875656i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2}\approx -0.5-1.322875656i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}+2x+4=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, 2 balioa b balioarekin, eta 4 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Egin 2 ber bi.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8\times 4}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-32}}{2\times 2}$$

Gehitu 4 eta -32.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-28}}{2\times 2}$$

Atera -28 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{7}i}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-2±2\sqrt{7}i}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -2 eta 2i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{7}i}{4}$$

Zatitu -2+2i\sqrt{7} balioa 4 balioarekin.

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-2±2\sqrt{7}i}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 2i\sqrt{7} ken -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}i-2}{4}$$

Zatitu -2-2i\sqrt{7} balioa 4 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}+2x+4=0$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}+2x+4-4=-4$$

4 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}+2x=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{4}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{4}{2}$$

Zatitu 2 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}+x=-\frac{4}{2}$$

Zatitu -4 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}+x=-2$$

Zatitu 1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2+\frac{1}{4}$$

Gehitu -2 eta \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{7}{4}$$

Atera x^{2}+x+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{7}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{7}i}{2}$$

Egin ken \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2}$$