Resolver 2x^2+2x+1=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=-0.5+0.5i$$

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i=-0.5-0.5i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, 2 balioa b balioarekin, eta 1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

Egin 2 ber bi.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8}}{2\times 2}$$

Gehitu 4 eta -8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-4}}{2\times 2}$$

Atera -4 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-2±2i}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{-2±2i}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-2±2i}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -2 eta 2i.

$$x=\frac{-2+2i}{4}$$

Zatitu -2+2i balioa 4 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$

Orain, ebatzi x=\frac{-2±2i}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 2i ken -2.

$$x=\frac{-2-2i}{4}$$

Zatitu -2-2i balioa 4 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}+2x+1-1=-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}+2x=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{1}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{1}{2}$$

Zatitu 2 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{2}$$

Zatitu 1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Gehitu -\frac{1}{2} eta \frac{1}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

Atera x^{2}+x+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}i x+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}i$$

Egin ken \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$