Resolver 2x^2+17x+21=0

$$2 x ^ { 2 } + 17 x + 21 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-7$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 2x^{2}+ax+bx+21 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=17 ab=2\times 21=42$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Zerrendatu 42 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,42 2,21 3,14 6,7$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1+42=43 2+21=23 3+14=17 6+7=13$$

17 batura duen parea da soluzioa.

$$a=3 b=14$$

Berridatzi 2x^{2}+17x+21 honela: \left(2x^{2}+3x\right)+\left(14x+21\right).

$$\left(2x^{2}+3x\right)+\left(14x+21\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 7 bigarren taldean.

$$x\left(2x+3\right)+7\left(2x+3\right)$$

Deskonposatu 2x+3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(2x+3\right)\left(x+7\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 2x+3=0 eta x+7=0.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}+17x+21=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, 17 balioa b balioarekin, eta 21 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Egin 17 ber bi.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-8\times 21}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider 21.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-168}}{2\times 2}$$

Gehitu 289 eta -168.

$$x=\frac{-17±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Atera 121 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-17±11}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{-17±11}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-17±11}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -17 eta 11.

$$x=-\frac{6}{4}$$

Murriztu \frac{-6}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-17±11}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 11 ken -17.

$$x=-\frac{28}{4}$$

Zatitu -28 balioa 4 balioarekin.

$$x=-7$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}+17x+21=0$$

Egin ken 21 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}+17x+21-21=-21$$

21 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}+17x=-21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}+17x}{2}=-\frac{21}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x=-\frac{21}{2}$$

Zatitu \frac{17}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{17}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{17}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}=-\frac{21}{2}+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}$$

Egin \frac{17}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=-\frac{21}{2}+\frac{289}{16}$$

Gehitu -\frac{21}{2} eta \frac{289}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=\frac{121}{16}$$

Atera x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{17}{4}=\frac{11}{4} x+\frac{17}{4}=-\frac{11}{4}$$

Egin ken \frac{17}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$