Resolver 2x=2y+14text{ANO}3y=-5x+3

$$2 x = 2 y + 14 \text { ANO } 3 y = - 5 x + 3$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=-4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$2x-2y=14$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 5x bi aldeetan.

$$3y+5x=3$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-2y=14$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=2y+14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(2y+14\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 14+2y.

$$x=y+7$$

Ordeztu y+7 balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x+3y=3).

$$5\left(y+7\right)+3y=3$$

Egin 5 bider y+7.

$$5y+35+3y=3$$

Gehitu 5y eta 3y.

$$8y+35=3$$

Egin ken 35 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8y=-32$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin x=y+7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-4+7$$

Gehitu 7 eta -4.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=-4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$2x-2y=14$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 5x bi aldeetan.

$$3y+5x=3$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{16}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}\times 14+\frac{1}{8}\times 3\\-\frac{5}{16}\times 14+\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=-4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$2x-2y=14$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 5x bi aldeetan.

$$3y+5x=3$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

2x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 2x+5\left(-2\right)y=5\times 14,2\times 5x+2\times 3y=2\times 3$$

Sinplifikatu.

$$10x-10y=70,10x+6y=6$$

Egin 10x+6y=6 ken 10x-10y=70 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$10x-10x-10y-6y=70-6$$

Gehitu 10x eta -10x. Sinplifikatu egiten dira 10x eta -10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-10y-6y=70-6$$

Gehitu -10y eta -6y.

$$-16y=70-6$$

Gehitu 70 eta -6.

$$-16y=64$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -16 balioarekin.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin 5x+3y=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x+3\left(-4\right)=3$$

Egin 3 bider -4.

$$5x-12=3$$

Gehitu 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=-4$$