Resolver 2r^2+5r+2=0

$$2 r ^ { 2 } + 5 r + 2 = 0$$

Ebatzi: r

$$r=-2$$

$$r=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 2r^{2}+ar+br+2 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=5 ab=2\times 2=4$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Zerrendatu 4 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,4 2,2$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1+4=5 2+2=4$$

5 batura duen parea da soluzioa.

$$a=1 b=4$$

Berridatzi 2r^{2}+5r+2 honela: \left(2r^{2}+r\right)+\left(4r+2\right).

$$\left(2r^{2}+r\right)+\left(4r+2\right)$$

Deskonposatu r lehen taldean, eta 2 bigarren taldean.

$$r\left(2r+1\right)+2\left(2r+1\right)$$

Deskonposatu 2r+1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(2r+1\right)\left(r+2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 2r+1=0 eta r+2=0.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2r^{2}+5r+2=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, 5 balioa b balioarekin, eta 2 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$r=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Egin 5 ber bi.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-8\times 2}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider 2.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-16}}{2\times 2}$$

Gehitu 25 eta -16.

$$r=\frac{-5±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Atera 9 balioaren erro karratua.

$$r=\frac{-5±3}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$r=\frac{-5±3}{4}$$

Orain, ebatzi r=\frac{-5±3}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -5 eta 3.

$$r=-\frac{2}{4}$$

Murriztu \frac{-2}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$r=-\frac{1}{2}$$

Orain, ebatzi r=\frac{-5±3}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 3 ken -5.

$$r=-\frac{8}{4}$$

Zatitu -8 balioa 4 balioarekin.

$$r=-2$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2r^{2}+5r+2=0$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2r^{2}+5r+2-2=-2$$

2 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2r^{2}+5r=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2r^{2}+5r}{2}=-\frac{2}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r=-\frac{2}{2}$$

Zatitu -2 balioa 2 balioarekin.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r=-1$$

Zatitu \frac{5}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{5}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{5}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Egin \frac{5}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=-1+\frac{25}{16}$$

Gehitu -1 eta \frac{25}{16}.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=\frac{9}{16}$$

Atera r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(r+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(r+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$r+\frac{5}{4}=\frac{3}{4} r+\frac{5}{4}=-\frac{3}{4}$$

Egin ken \frac{5}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$