Resolver 2k^2+9k=-7

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

Ebatzi: k

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$k=-1$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Gehitu 7 bi aldeetan.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 2k^{2}+ak+bk+7 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Zerrendatu 14 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,14 2,7$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1+14=15 2+7=9$$

9 batura duen parea da soluzioa.

$$a=2 b=7$$

Berridatzi 2k^{2}+9k+7 honela: \left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right).

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

Deskonposatu 2k lehen taldean, eta 7 bigarren taldean.

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

Deskonposatu k+1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi k+1=0 eta 2k+7=0.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Gehitu 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

-7 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

Egin -7 ken 0.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, 9 balioa b balioarekin, eta 7 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Egin 9 ber bi.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider 7.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

Gehitu 81 eta -56.

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Atera 25 balioaren erro karratua.

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

Orain, ebatzi k=\frac{-9±5}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -9 eta 5.

$$k=-\frac{4}{4}$$

Zatitu -4 balioa 4 balioarekin.

$$k=-1$$

Orain, ebatzi k=\frac{-9±5}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 5 ken -9.

$$k=-\frac{14}{4}$$

Murriztu \frac{-14}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$k=-\frac{7}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

Zatitu \frac{9}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{9}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{9}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Egin \frac{9}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

Gehitu -\frac{7}{2} eta \frac{81}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

Atera k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

Egin ken \frac{9}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$