Resolver 2x^2-14x-54=0

$$2 { x }^{ 2 } -14x-54=0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{157} + 7}{2} \approx 9.764982043$$

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}\approx -2.764982043$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, -14 balioa b balioarekin, eta -54 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Egin -14 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider -54.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+432}}{2\times 2}$$

Gehitu 196 eta 432.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{628}}{2\times 2}$$

Atera 628 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

-14 zenbakiaren aurkakoa 14 da.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 14 eta 2\sqrt{157}.

$$x=\frac{2\sqrt{157}+14}{4}$$

Zatitu 14+2\sqrt{157} balioa 4 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{157} ken 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{157}}{4}$$

Zatitu 14-2\sqrt{157} balioa 4 balioarekin.

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

Gehitu 54 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}-14x-54-\left(-54\right)=-\left(-54\right)$$

-54 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}-14x=-\left(-54\right)$$

Egin -54 ken 0.

$$2x^{2}-14x=54$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}-14x}{2}=\frac{54}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)x=\frac{54}{2}$$

Zatitu -14 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}-7x=\frac{54}{2}$$

Zatitu 54 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}-7x=27$$

Zatitu -7 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{7}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{7}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=27+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{7}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=27+\frac{49}{4}$$

Gehitu 27 eta \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{157}{4}$$

Atera x^{2}-7x+\frac{49}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{157}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{157}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{157}}{2}$$

Gehitu \frac{7}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$