Resolver 2x^2-14x+25=0

$$2 { x }^{ 2 } -14x+25=0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}i=3.5+0.5i$$

$$x=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}i=3.5-0.5i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}-14x+25=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, -14 balioa b balioarekin, eta 25 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\times 25}}{2\times 2}$$

Egin -14 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\times 25}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\times 25}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider 25.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-200}}{2\times 2}$$

Gehitu 196 eta -200.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-4}}{2\times 2}$$

Atera -4 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2i}{2\times 2}$$

-14 zenbakiaren aurkakoa 14 da.

$$x=\frac{14±2i}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{14±2i}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{14±2i}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 14 eta 2i.

$$x=\frac{14+2i}{4}$$

Zatitu 14+2i balioa 4 balioarekin.

$$x=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}i$$

Orain, ebatzi x=\frac{14±2i}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 2i ken 14.

$$x=\frac{14-2i}{4}$$

Zatitu 14-2i balioa 4 balioarekin.

$$x=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}i$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}i x=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}i$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}-14x+25=0$$

Egin ken 25 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}-14x+25-25=-25$$

25 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}-14x=-25$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}-14x}{2}=-\frac{25}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)x=-\frac{25}{2}$$

Zatitu -14 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}-7x=-\frac{25}{2}$$

Zatitu -7 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{7}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{7}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{25}{2}+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{7}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-\frac{25}{2}+\frac{49}{4}$$

Gehitu -\frac{25}{2} eta \frac{49}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-\frac{1}{4}$$

Atera x^{2}-7x+\frac{49}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{1}{2}i x-\frac{7}{2}=-\frac{1}{2}i$$

Gehitu \frac{7}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}i x=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}i$$