Resolver 2x^2-13x+21=0

$$2 { x }^{ 2 } -13x+21 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=3$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 2x^{2}+ax+bx+21 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-13 ab=2\times 21=42$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 42 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

-13 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-7 b=-6$$

Berridatzi 2x^{2}-13x+21 honela: \left(2x^{2}-7x\right)+\left(-6x+21\right).

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(-6x+21\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta -3 bigarren taldean.

$$x\left(2x-7\right)-3\left(2x-7\right)$$

Deskonposatu 2x-7 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(2x-7\right)\left(x-3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 2x-7=0 eta x-3=0.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}-13x+21=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, -13 balioa b balioarekin, eta 21 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Egin -13 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-8\times 21}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider 21.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2\times 2}$$

Gehitu 169 eta -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2\times 2}$$

Atera 1 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2\times 2}$$

-13 zenbakiaren aurkakoa 13 da.

$$x=\frac{13±1}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{13±1}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{13±1}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 13 eta 1.

$$x=\frac{14}{4}$$

Murriztu \frac{14}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{7}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{13±1}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 1 ken 13.

$$x=\frac{12}{4}$$

Zatitu 12 balioa 4 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}-13x+21=0$$

Egin ken 21 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}-13x+21-21=-21$$

21 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}-13x=-21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}-13x}{2}=-\frac{21}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{21}{2}$$

Zatitu -\frac{13}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{13}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{13}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=-\frac{21}{2}+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{13}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=-\frac{21}{2}+\frac{169}{16}$$

Gehitu -\frac{21}{2} eta \frac{169}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{1}{16}$$

Atera x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{1}{4}$$

Gehitu \frac{13}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$