Resolver 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=8$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 2x^{2}+ax+bx-40 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -80 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

-11 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-16 b=5$$

Berridatzi 2x^{2}-11x-40 honela: \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

Deskonposatu 2x lehen taldean, eta 5 bigarren taldean.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

Deskonposatu x-8 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-8=0 eta 2x+5=0.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, -11 balioa b balioarekin, eta -40 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Egin -11 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

Gehitu 121 eta 320.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Atera 441 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

-11 zenbakiaren aurkakoa 11 da.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{11±21}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 11 eta 21.

$$x=\frac{32}{4}$$

Zatitu 32 balioa 4 balioarekin.

$$x=8$$

Orain, ebatzi x=\frac{11±21}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 21 ken 11.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Murriztu \frac{-10}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Gehitu 40 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

-40 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

Egin -40 ken 0.

$$2x^{2}-11x=40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

Zatitu 40 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

Zatitu -\frac{11}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{11}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{11}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{11}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

Gehitu 20 eta \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

Atera x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

Gehitu \frac{11}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$