Resolver 2x^2+x-6=30

$$2 { x }^{ 2 } +x-6=30$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

$$x=4$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Kendu 30 bi aldeetatik.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

-36 lortzeko, -6 balioari kendu 30.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 2x^{2}+ax+bx-36 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=1 ab=2\left(-36\right)=-72$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -72 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

1 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-8 b=9$$

Berridatzi 2x^{2}+x-36 honela: \left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right)$$

Deskonposatu 2x lehen taldean, eta 9 bigarren taldean.

$$2x\left(x-4\right)+9\left(x-4\right)$$

Deskonposatu x-4 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-4\right)\left(2x+9\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-4=0 eta 2x+9=0.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Egin ken 30 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}+x-6-30=30-30$$

30 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Egin 30 ken -6.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, 1 balioa b balioarekin, eta -36 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Egin 1 ber bi.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider -36.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\times 2}$$

Gehitu 1 eta 288.

$$x=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Atera 289 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-1±17}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{-1±17}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-1±17}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -1 eta 17.

$$x=\frac{16}{4}$$

Zatitu 16 balioa 4 balioarekin.

$$x=4$$

Orain, ebatzi x=\frac{-1±17}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 17 ken -1.

$$x=-\frac{18}{4}$$

Murriztu \frac{-18}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}+x-6-\left(-6\right)=30-\left(-6\right)$$

-6 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}+x=30-\left(-6\right)$$

Egin -6 ken 30.

$$2x^{2}+x=36$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{36}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{36}{2}$$

Zatitu 36 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=18$$

Zatitu \frac{1}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

Gehitu 18 eta \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

Atera x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Egin ken \frac{1}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$