Resolver 2x^2+5x+3=20

$$2 { x }^{ 2 } +5x+3=20$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{161} - 5}{4} \approx 1.922144385$$

$$x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}\approx -4.422144385$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}+5x+3=20$$

Egin ken 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}+5x+3-20=20-20$$

20 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}+5x+3-20=0$$

Egin 20 ken 3.

$$2x^{2}+5x-17=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, 5 balioa b balioarekin, eta -17 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-17\right)}}{2\times 2}$$

Egin 5 ber bi.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-17\right)}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-17\right)}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider -17.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+136}}{2\times 2}$$

Gehitu 25 eta 136.

$$x=\frac{-5±\sqrt{161}}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{161}}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-5±\sqrt{161}}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -5 eta \sqrt{161}.

$$x=\frac{\sqrt{161}-5}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-5±\sqrt{161}}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{161} ken -5.

$$x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{161}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}+5x+3=20$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}+5x+3-3=20-3$$

3 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}+5x=20-3$$

Egin 3 ken 20.

$$2x^{2}+5x=17$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{17}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{17}{2}$$

Zatitu \frac{5}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{5}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{5}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{17}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Egin \frac{5}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{17}{2}+\frac{25}{16}$$

Gehitu \frac{17}{2} eta \frac{25}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{161}{16}$$

Atera x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{161}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{161}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{161}}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{161}}{4}$$

Egin ken \frac{5}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{161}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}$$