Resolver 18x^2-30x+11=0

$$18 x ^ { 2 } - 30 x + 11 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 5}{6} \approx 1.122008468$$

$$x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}\approx 0.544658199$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$18x^{2}-30x+11=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 18 balioa a balioarekin, -30 balioa b balioarekin, eta 11 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 18\times 11}}{2\times 18}$$

Egin -30 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 18\times 11}}{2\times 18}$$

Egin -4 bider 18.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-72\times 11}}{2\times 18}$$

Egin -72 bider 11.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-792}}{2\times 18}$$

Gehitu 900 eta -792.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{108}}{2\times 18}$$

Atera 108 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±6\sqrt{3}}{2\times 18}$$

-30 zenbakiaren aurkakoa 30 da.

$$x=\frac{30±6\sqrt{3}}{2\times 18}$$

Egin 2 bider 18.

$$x=\frac{30±6\sqrt{3}}{36}$$

Orain, ebatzi x=\frac{30±6\sqrt{3}}{36} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 30 eta 6\sqrt{3}.

$$x=\frac{6\sqrt{3}+30}{36}$$

Zatitu 30+6\sqrt{3} balioa 36 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{3}+5}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{30±6\sqrt{3}}{36} ekuazioa ± minus denean. Egin 6\sqrt{3} ken 30.

$$x=\frac{30-6\sqrt{3}}{36}$$

Zatitu 30-6\sqrt{3} balioa 36 balioarekin.

$$x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{3}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$18x^{2}-30x+11=0$$

Egin ken 11 ekuazioaren bi aldeetan.

$$18x^{2}-30x+11-11=-11$$

11 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$18x^{2}-30x=-11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 18 balioarekin.

$$\frac{18x^{2}-30x}{18}=-\frac{11}{18}$$

18 balioarekin zatituz gero, 18 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{18}\right)x=-\frac{11}{18}$$

Murriztu \frac{-30}{18} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{11}{18}$$

Zatitu -\frac{5}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{6} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{6} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{11}{18}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{6} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{11}{18}+\frac{25}{36}$$

Gehitu -\frac{11}{18} eta \frac{25}{36} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{12}$$

Atera x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{12}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{12}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{3}}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{6}$$

Gehitu \frac{5}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{3}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}$$