Resolver 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 18x^{2}+ax+bx-5 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -90 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

-9 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-15 b=6$$

Berridatzi 18x^{2}-9x-5 honela: \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

Deskonposatu 3x 18x^{2}-15x taldean.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Deskonposatu 6x-5 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 6x-5=0 eta 3x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 18 balioa a balioarekin, -9 balioa b balioarekin, eta -5 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Egin -9 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Egin -4 bider 18.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Egin -72 bider -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Gehitu 81 eta 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Atera 441 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

-9 zenbakiaren aurkakoa 9 da.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

Egin 2 bider 18.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

Orain, ebatzi x=\frac{9±21}{36} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 9 eta 21.

$$x=\frac{30}{36}$$

Murriztu \frac{30}{36} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{5}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{9±21}{36} ekuazioa ± minus denean. Egin 21 ken 9.

$$x=-\frac{12}{36}$$

Murriztu \frac{-12}{36} zatikia gai txikienera, 12 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Gehitu 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

-5 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

Egin -5 ken 0.

$$18x^{2}-9x=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 18 balioarekin.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

18 balioarekin zatituz gero, 18 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

Murriztu \frac{-9}{18} zatikia gai txikienera, 9 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

Zatitu -\frac{1}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

Gehitu \frac{5}{18} eta \frac{1}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

Atera x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

Gehitu \frac{1}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$