Resolver 17p+4p^2=-15

$$17 p + 4 p ^ { 2 } = - 15$$

Ebatzi: p

$$p = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25$$

$$p=-3$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Gehitu 15 bi aldeetan.

$$17p+4p^{2}+15=0$$

Berrantolatu polinomioa, ohiko eran jartzeko. Ordenatu gaiak berretura handienetik txikienera.

$$4p^{2}+17p+15=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 4p^{2}+ap+bp+15 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=17 ab=4\times 15=60$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Zerrendatu 60 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

17 batura duen parea da soluzioa.

$$a=5 b=12$$

Berridatzi 4p^{2}+17p+15 honela: \left(4p^{2}+5p\right)+\left(12p+15\right).

$$\left(4p^{2}+5p\right)+\left(12p+15\right)$$

Deskonposatu p lehen taldean, eta 3 bigarren taldean.

$$p\left(4p+5\right)+3\left(4p+5\right)$$

Deskonposatu 4p+5 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(4p+5\right)\left(p+3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 4p+5=0 eta p+3=0.

$$p=-\frac{5}{4} p=-3$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4p^{2}+17p=-15$$

Gehitu 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4p^{2}+17p-\left(-15\right)=-15-\left(-15\right)$$

-15 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4p^{2}+17p-\left(-15\right)=0$$

Egin -15 ken 0.

$$4p^{2}+17p+15=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, 17 balioa b balioarekin, eta 15 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$p=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 4\times 15}}{2\times 4}$$

Egin 17 ber bi.

$$p=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 4\times 15}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$p=\frac{-17±\sqrt{289-16\times 15}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider 15.

$$p=\frac{-17±\sqrt{289-240}}{2\times 4}$$

Gehitu 289 eta -240.

$$p=\frac{-17±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Atera 49 balioaren erro karratua.

$$p=\frac{-17±7}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$p=\frac{-17±7}{8}$$

Orain, ebatzi p=\frac{-17±7}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -17 eta 7.

$$p=-\frac{10}{8}$$

Murriztu \frac{-10}{8} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$p=-\frac{5}{4}$$

Orain, ebatzi p=\frac{-17±7}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 7 ken -17.

$$p=-\frac{24}{8}$$

Zatitu -24 balioa 8 balioarekin.

$$p=-3$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$p=-\frac{5}{4} p=-3$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4p^{2}+17p=-15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4p^{2}+17p}{4}=-\frac{15}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$p^{2}+\frac{17}{4}p=-\frac{15}{4}$$

Zatitu \frac{17}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{17}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{17}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$p^{2}+\frac{17}{4}p+\left(\frac{17}{8}\right)^{2}=-\frac{15}{4}+\left(\frac{17}{8}\right)^{2}$$

Egin \frac{17}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$p^{2}+\frac{17}{4}p+\frac{289}{64}=-\frac{15}{4}+\frac{289}{64}$$

Gehitu -\frac{15}{4} eta \frac{289}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$p^{2}+\frac{17}{4}p+\frac{289}{64}=\frac{49}{64}$$

Atera p^{2}+\frac{17}{4}p+\frac{289}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(p+\frac{17}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(p+\frac{17}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$p+\frac{17}{8}=\frac{7}{8} p+\frac{17}{8}=-\frac{7}{8}$$

Egin ken \frac{17}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$p=-\frac{5}{4} p=-3$$