Resolver 16x^2-24x-7<0

$$16 x ^ { 2 } - 24 x - 7 < 0$$

Ebatzi: x

$$x\in \left(-\frac{1}{4},\frac{7}{4}\right)$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Desberdintasuna ebazteko, faktorizatu ezkerraldea. Polinomio koadratikoa faktorizatzeko, eraldaketa hau erabil daiteke: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Bertan, x_{1} eta x_{2} dira ax^{2}+bx+c=0 ekuazio koadratikoaren soluzioak.

$$16x^{2}-24x-7=0$$

ax^{2}+bx+c=0 erako ekuazio guztiak formula koadratiko honen bidez ebatz daitezke: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ordeztu 16 balioa a balioarekin, -24 balioa b balioarekin, eta -7 balioa c balioarekin formula koadratikoan.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 16\left(-7\right)}}{2\times 16}$$

Egin kalkuluak.

$$x=\frac{24±32}{32}$$

Ebatzi x=\frac{24±32}{32} ekuazioa ± plus denean eta ± minus denean.

$$x=\frac{7}{4} x=-\frac{1}{4}$$

Berridatzi desberdintasuna lortutako emaitzen arabera.

$$16\left(x-\frac{7}{4}\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)<0$$

Biderkadura negatiboa izan dadin, x-\frac{7}{4} eta x+\frac{1}{4} balioek kontrako zeinuak izan behar dituzte. Hartu kasua kontuan x-\frac{7}{4} positiboa denean etax+\frac{1}{4} negatiboa denean.

$$x-\frac{7}{4}>0 x+\frac{1}{4}<0$$

Hori beti gezurra da x guztien kasuan.

$$x\in \emptyset$$

Hartu kasua kontuan x+\frac{1}{4} positiboa denean etax-\frac{7}{4} negatiboa denean.

$$x+\frac{1}{4}>0 x-\frac{7}{4}<0$$

Desberdintasun biei egokitzen zaien soluzioa x\in \left(-\frac{1}{4},\frac{7}{4}\right) da.

$$x\in \left(-\frac{1}{4},\frac{7}{4}\right)$$

Lortutako soluzioen batasuna da azken soluzioa.

$$x\in \left(-\frac{1}{4},\frac{7}{4}\right)$$