Resolver 15y^2+8y+1=0

$$15 y ^ { 2 } + 8 y + 1 = 0$$

Ebatzi: y

$$y=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 15y^{2}+ay+by+1 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=8 ab=15\times 1=15$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Zerrendatu 15 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,15 3,5$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1+15=16 3+5=8$$

8 batura duen parea da soluzioa.

$$a=3 b=5$$

Berridatzi 15y^{2}+8y+1 honela: \left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right).

$$\left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right)$$

Deskonposatu 3y 15y^{2}+3y taldean.

$$3y\left(5y+1\right)+5y+1$$

Deskonposatu 5y+1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(5y+1\right)\left(3y+1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 5y+1=0 eta 3y+1=0.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$15y^{2}+8y+1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 15 balioa a balioarekin, 8 balioa b balioarekin, eta 1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 15}}{2\times 15}$$

Egin 8 ber bi.

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 15}}{2\times 15}$$

Egin -4 bider 15.

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-60}}{2\times 15}$$

Gehitu 64 eta -60.

$$y=\frac{-8±\sqrt{4}}{2\times 15}$$

Atera 4 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-8±2}{2\times 15}$$

Egin 2 bider 15.

$$y=\frac{-8±2}{30}$$

Orain, ebatzi y=\frac{-8±2}{30} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -8 eta 2.

$$y=-\frac{6}{30}$$

Murriztu \frac{-6}{30} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$y=-\frac{1}{5}$$

Orain, ebatzi y=\frac{-8±2}{30} ekuazioa ± minus denean. Egin 2 ken -8.

$$y=-\frac{10}{30}$$

Murriztu \frac{-10}{30} zatikia gai txikienera, 10 bakanduta eta ezeztatuta.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$15y^{2}+8y+1=0$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$15y^{2}+8y+1-1=-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$15y^{2}+8y=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin.

$$\frac{15y^{2}+8y}{15}=-\frac{1}{15}$$

15 balioarekin zatituz gero, 15 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y=-\frac{1}{15}$$

Zatitu \frac{8}{15} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{4}{15} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{4}{15} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{1}{15}+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}$$

Egin \frac{4}{15} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=-\frac{1}{15}+\frac{16}{225}$$

Gehitu -\frac{1}{15} eta \frac{16}{225} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=\frac{1}{225}$$

Atera y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{1}{225}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{225}}$$

Sinplifikatu.

$$y+\frac{4}{15}=\frac{1}{15} y+\frac{4}{15}=-\frac{1}{15}$$

Egin ken \frac{4}{15} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$