Resolver 15x^2-525x-4500=0

$$15 x ^ { 2 } - 525 x - 4500 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{5 \sqrt{97} + 35}{2} \approx 42.122144504$$

$$x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}\approx -7.122144504$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$15x^{2}-525x-4500=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 15 balioa a balioarekin, -525 balioa b balioarekin, eta -4500 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{\left(-525\right)^{2}-4\times 15\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

Egin -525 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625-4\times 15\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

Egin -4 bider 15.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625-60\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

Egin -60 bider -4500.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625+270000}}{2\times 15}$$

Gehitu 275625 eta 270000.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{545625}}{2\times 15}$$

Atera 545625 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±75\sqrt{97}}{2\times 15}$$

-525 zenbakiaren aurkakoa 525 da.

$$x=\frac{525±75\sqrt{97}}{2\times 15}$$

Egin 2 bider 15.

$$x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30}$$

Orain, ebatzi x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 525 eta 75\sqrt{97}.

$$x=\frac{75\sqrt{97}+525}{30}$$

Zatitu 525+75\sqrt{97} balioa 30 balioarekin.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30} ekuazioa ± minus denean. Egin 75\sqrt{97} ken 525.

$$x=\frac{525-75\sqrt{97}}{30}$$

Zatitu 525-75\sqrt{97} balioa 30 balioarekin.

$$x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2} x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$15x^{2}-525x-4500=0$$

Gehitu 4500 ekuazioaren bi aldeetan.

$$15x^{2}-525x-4500-\left(-4500\right)=-\left(-4500\right)$$

-4500 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$15x^{2}-525x=-\left(-4500\right)$$

Egin -4500 ken 0.

$$15x^{2}-525x=4500$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin.

$$\frac{15x^{2}-525x}{15}=\frac{4500}{15}$$

15 balioarekin zatituz gero, 15 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{525}{15}\right)x=\frac{4500}{15}$$

Zatitu -525 balioa 15 balioarekin.

$$x^{2}-35x=\frac{4500}{15}$$

Zatitu 4500 balioa 15 balioarekin.

$$x^{2}-35x=300$$

Zatitu -35 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{35}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{35}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-35x+\left(-\frac{35}{2}\right)^{2}=300+\left(-\frac{35}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{35}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-35x+\frac{1225}{4}=300+\frac{1225}{4}$$

Gehitu 300 eta \frac{1225}{4}.

$$x^{2}-35x+\frac{1225}{4}=\frac{2425}{4}$$

Atera x^{2}-35x+\frac{1225}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{35}{2}\right)^{2}=\frac{2425}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{35}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2425}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{35}{2}=\frac{5\sqrt{97}}{2} x-\frac{35}{2}=-\frac{5\sqrt{97}}{2}$$

Gehitu \frac{35}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2} x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$