Resolver 15x^2-11x-14

$$15 x ^ { 2 } - 11 x - 14$$

Faktorizatu

$$\left(5x-7\right)\left(3x+2\right)$$

Ebazpidea

Faktorizatu adierazpena taldekatzea erabilita. Lehenik, adierazpena 15x^{2}+ax+bx-14 gisa idatzi behar da. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-11 ab=15\left(-14\right)=-210$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -210 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

-11 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-21 b=10$$

Berridatzi 15x^{2}-11x-14 honela: \left(15x^{2}-21x\right)+\left(10x-14\right).

$$\left(15x^{2}-21x\right)+\left(10x-14\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta 2 bigarren taldean.

$$3x\left(5x-7\right)+2\left(5x-7\right)$$

Deskonposatu 5x-7 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(5x-7\right)\left(3x+2\right)$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Polinomio koadratikoa faktorizatzeko, eraldaketa hau erabil daiteke: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Bertan, x_{1} eta x_{2} dira ax^{2}+bx+c=0 ekuazio koadratikoaren soluzioak.

$$15x^{2}-11x-14=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 15\left(-14\right)}}{2\times 15}$$

Egin -11 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 15\left(-14\right)}}{2\times 15}$$

Egin -4 bider 15.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-60\left(-14\right)}}{2\times 15}$$

Egin -60 bider -14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+840}}{2\times 15}$$

Gehitu 121 eta 840.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{961}}{2\times 15}$$

Atera 961 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±31}{2\times 15}$$

-11 zenbakiaren aurkakoa 11 da.

$$x=\frac{11±31}{2\times 15}$$

Egin 2 bider 15.

$$x=\frac{11±31}{30}$$

Orain, ebatzi x=\frac{11±31}{30} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 11 eta 31.

$$x=\frac{42}{30}$$

Murriztu \frac{42}{30} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{7}{5}$$

Orain, ebatzi x=\frac{11±31}{30} ekuazioa ± minus denean. Egin 31 ken 11.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Murriztu \frac{-20}{30} zatikia gai txikienera, 10 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Faktorizatu jatorrizko adierazpena ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) erabilita. Ordeztu \frac{7}{5} x_{1} faktorean, eta -\frac{2}{3} x_{2} faktorean.

$$15x^{2}-11x-14=15\left(x-\frac{7}{5}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Sinplifikatu p-\left(-q\right) motako adierazpen guztiak p+q gisa.

$$15x^{2}-11x-14=15\left(x-\frac{7}{5}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Egin \frac{7}{5} ken x izendatzaile komuna aurkitu, eta zenbakitzaileen arteko kenketa eginda. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$15x^{2}-11x-14=15\times \frac{5x-7}{5}\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Gehitu \frac{2}{3} eta x izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$15x^{2}-11x-14=15\times \frac{5x-7}{5}\times \frac{3x+2}{3}$$

Egin \frac{5x-7}{5} bider \frac{3x+2}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$15x^{2}-11x-14=15\times \frac{\left(5x-7\right)\left(3x+2\right)}{5\times 3}$$

Egin 5 bider 3.

$$15x^{2}-11x-14=15\times \frac{\left(5x-7\right)\left(3x+2\right)}{15}$$

Deuseztatu 15 eta 15 balioen faktore komunetan handiena (15).

$$15x^{2}-11x-14=\left(5x-7\right)\left(3x+2\right)$$

Ebaluatu

$$\left(5x-7\right)\left(3x+2\right)$$