Resolver 15x^2+31x+10

$$15 x ^ { 2 } + 31 x + 10$$

Faktorizatu

$$\left(3x+5\right)\left(5x+2\right)$$

Ebazpidea

Faktorizatu adierazpena taldekatzea erabilita. Lehenik, adierazpena 15x^{2}+ax+bx+10 gisa idatzi behar da. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=31 ab=15\times 10=150$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Zerrendatu 150 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,150 2,75 3,50 5,30 6,25 10,15$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1+150=151 2+75=77 3+50=53 5+30=35 6+25=31 10+15=25$$

31 batura duen parea da soluzioa.

$$a=6 b=25$$

Berridatzi 15x^{2}+31x+10 honela: \left(15x^{2}+6x\right)+\left(25x+10\right).

$$\left(15x^{2}+6x\right)+\left(25x+10\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta 5 bigarren taldean.

$$3x\left(5x+2\right)+5\left(5x+2\right)$$

Deskonposatu 5x+2 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(5x+2\right)\left(3x+5\right)$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Polinomio koadratikoa faktorizatzeko, eraldaketa hau erabil daiteke: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Bertan, x_{1} eta x_{2} dira ax^{2}+bx+c=0 ekuazio koadratikoaren soluzioak.

$$15x^{2}+31x+10=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\times 15\times 10}}{2\times 15}$$

Egin 31 ber bi.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\times 15\times 10}}{2\times 15}$$

Egin -4 bider 15.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-60\times 10}}{2\times 15}$$

Egin -60 bider 10.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-600}}{2\times 15}$$

Gehitu 961 eta -600.

$$x=\frac{-31±\sqrt{361}}{2\times 15}$$

Atera 361 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-31±19}{2\times 15}$$

Egin 2 bider 15.

$$x=\frac{-31±19}{30}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-31±19}{30} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -31 eta 19.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Murriztu \frac{-12}{30} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-31±19}{30} ekuazioa ± minus denean. Egin 19 ken -31.

$$x=-\frac{50}{30}$$

Murriztu \frac{-50}{30} zatikia gai txikienera, 10 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Faktorizatu jatorrizko adierazpena ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) erabilita. Ordeztu -\frac{2}{5} x_{1} faktorean, eta -\frac{5}{3} x_{2} faktorean.

$$15x^{2}+31x+10=15\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)$$

Sinplifikatu p-\left(-q\right) motako adierazpen guztiak p+q gisa.

$$15x^{2}+31x+10=15\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x+\frac{5}{3}\right)$$

Gehitu \frac{2}{5} eta x izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$15x^{2}+31x+10=15\times \frac{5x+2}{5}\left(x+\frac{5}{3}\right)$$

Gehitu \frac{5}{3} eta x izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$15x^{2}+31x+10=15\times \frac{5x+2}{5}\times \frac{3x+5}{3}$$

Egin \frac{5x+2}{5} bider \frac{3x+5}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$15x^{2}+31x+10=15\times \frac{\left(5x+2\right)\left(3x+5\right)}{5\times 3}$$

Egin 5 bider 3.

$$15x^{2}+31x+10=15\times \frac{\left(5x+2\right)\left(3x+5\right)}{15}$$

Deuseztatu 15 eta 15 balioen faktore komunetan handiena (15).

$$15x^{2}+31x+10=\left(5x+2\right)\left(3x+5\right)$$

Ebaluatu

$$\left(3x+5\right)\left(5x+2\right)$$