Resolver 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 15x^{2}+ax+bx+2 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Zerrendatu 30 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

11 batura duen parea da soluzioa.

$$a=5 b=6$$

Berridatzi 15x^{2}+11x+2 honela: \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right).

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

Deskonposatu 5x lehen taldean, eta 2 bigarren taldean.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Deskonposatu 3x+1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 3x+1=0 eta 5x+2=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 15 balioa a balioarekin, 11 balioa b balioarekin, eta 2 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Egin 11 ber bi.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Egin -4 bider 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

Egin -60 bider 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

Gehitu 121 eta -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

Atera 1 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

Egin 2 bider 15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-11±1}{30} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -11 eta 1.

$$x=-\frac{10}{30}$$

Murriztu \frac{-10}{30} zatikia gai txikienera, 10 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-11±1}{30} ekuazioa ± minus denean. Egin 1 ken -11.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Murriztu \frac{-12}{30} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

2 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$15x^{2}+11x=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

15 balioarekin zatituz gero, 15 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Zatitu \frac{11}{15} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{11}{30} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{11}{30} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

Egin \frac{11}{30} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Gehitu -\frac{2}{15} eta \frac{121}{900} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

Atera x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

Egin ken \frac{11}{30} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$