Resolver 15x^2-8x-16

$$15 { x }^{ 2 } -8x-16$$

Faktorizatu

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Ebazpidea

Faktorizatu adierazpena taldekatzea erabilita. Lehenik, adierazpena 15x^{2}+ax+bx-16 gisa idatzi behar da. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-8 ab=15\left(-16\right)=-240$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -240 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

-8 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-20 b=12$$

Berridatzi 15x^{2}-8x-16 honela: \left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right).

$$\left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right)$$

Deskonposatu 5x lehen taldean, eta 4 bigarren taldean.

$$5x\left(3x-4\right)+4\left(3x-4\right)$$

Deskonposatu 3x-4 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Polinomio koadratikoa faktorizatzeko, eraldaketa hau erabil daiteke: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Bertan, x_{1} eta x_{2} dira ax^{2}+bx+c=0 ekuazio koadratikoaren soluzioak.

$$15x^{2}-8x-16=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Egin -8 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Egin -4 bider 15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Egin -60 bider -16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+960}}{2\times 15}$$

Gehitu 64 eta 960.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{1024}}{2\times 15}$$

Atera 1024 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±32}{2\times 15}$$

-8 zenbakiaren aurkakoa 8 da.

$$x=\frac{8±32}{2\times 15}$$

Egin 2 bider 15.

$$x=\frac{8±32}{30}$$

Orain, ebatzi x=\frac{8±32}{30} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 8 eta 32.

$$x=\frac{40}{30}$$

Murriztu \frac{40}{30} zatikia gai txikienera, 10 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{4}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{8±32}{30} ekuazioa ± minus denean. Egin 32 ken 8.

$$x=-\frac{24}{30}$$

Murriztu \frac{-24}{30} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Faktorizatu jatorrizko adierazpena ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) erabilita. Ordeztu \frac{4}{3} x_{1} faktorean, eta -\frac{4}{5} x_{2} faktorean.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$$

Sinplifikatu p-\left(-q\right) motako adierazpen guztiak p+q gisa.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Egin \frac{4}{3} ken x izendatzaile komuna aurkitu, eta zenbakitzaileen arteko kenketa eginda. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Gehitu \frac{4}{5} eta x izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\times \frac{5x+4}{5}$$

Egin \frac{3x-4}{3} bider \frac{5x+4}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{3\times 5}$$

Egin 3 bider 5.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{15}$$

Deuseztatu 15 eta 15 balioen faktore komunetan handiena (15).

$$15x^{2}-8x-16=\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Ebaluatu

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$