Resolver 15x^2+4x-4=0

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 15x^{2}+ax+bx-4 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -60 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

4 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-6 b=10$$

Berridatzi 15x^{2}+4x-4 honela: \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right).

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta 2 bigarren taldean.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Deskonposatu 5x-2 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 5x-2=0 eta 3x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 15 balioa a balioarekin, 4 balioa b balioarekin, eta -4 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Egin 4 ber bi.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Egin -4 bider 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Egin -60 bider -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Gehitu 16 eta 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Atera 256 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

Egin 2 bider 15.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-4±16}{30} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -4 eta 16.

$$x=\frac{12}{30}$$

Murriztu \frac{12}{30} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{2}{5}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-4±16}{30} ekuazioa ± minus denean. Egin 16 ken -4.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Murriztu \frac{-20}{30} zatikia gai txikienera, 10 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

-4 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

Egin -4 ken 0.

$$15x^{2}+4x=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

15 balioarekin zatituz gero, 15 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

Zatitu \frac{4}{15} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{2}{15} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{2}{15} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Egin \frac{2}{15} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Gehitu \frac{4}{15} eta \frac{4}{225} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

Atera x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Egin ken \frac{2}{15} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$