Resolver 132x^2+16x-1=0

$$132 x ^ { 2 } + 16 x - 1 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

$$x=\frac{1}{22}\approx 0.045454545$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 132x^{2}+ax+bx-1 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=16 ab=132\left(-1\right)=-132$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -132 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,132 -2,66 -3,44 -4,33 -6,22 -11,12$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+132=131 -2+66=64 -3+44=41 -4+33=29 -6+22=16 -11+12=1$$

16 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-6 b=22$$

Berridatzi 132x^{2}+16x-1 honela: \left(132x^{2}-6x\right)+\left(22x-1\right).

$$\left(132x^{2}-6x\right)+\left(22x-1\right)$$

Deskonposatu 6x 132x^{2}-6x taldean.

$$6x\left(22x-1\right)+22x-1$$

Deskonposatu 22x-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(22x-1\right)\left(6x+1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 22x-1=0 eta 6x+1=0.

$$x=\frac{1}{22} x=-\frac{1}{6}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$132x^{2}+16x-1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 132 balioa a balioarekin, 16 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 132\left(-1\right)}}{2\times 132}$$

Egin 16 ber bi.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 132\left(-1\right)}}{2\times 132}$$

Egin -4 bider 132.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-528\left(-1\right)}}{2\times 132}$$

Egin -528 bider -1.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+528}}{2\times 132}$$

Gehitu 256 eta 528.

$$x=\frac{-16±\sqrt{784}}{2\times 132}$$

Atera 784 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-16±28}{2\times 132}$$

Egin 2 bider 132.

$$x=\frac{-16±28}{264}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-16±28}{264} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -16 eta 28.

$$x=\frac{12}{264}$$

Murriztu \frac{12}{264} zatikia gai txikienera, 12 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{1}{22}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-16±28}{264} ekuazioa ± minus denean. Egin 28 ken -16.

$$x=-\frac{44}{264}$$

Murriztu \frac{-44}{264} zatikia gai txikienera, 44 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{1}{22} x=-\frac{1}{6}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$132x^{2}+16x-1=0$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$132x^{2}+16x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$132x^{2}+16x=-\left(-1\right)$$

Egin -1 ken 0.

$$132x^{2}+16x=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 132 balioarekin.

$$\frac{132x^{2}+16x}{132}=\frac{1}{132}$$

132 balioarekin zatituz gero, 132 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{16}{132}x=\frac{1}{132}$$

Murriztu \frac{16}{132} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{4}{33}x=\frac{1}{132}$$

Zatitu \frac{4}{33} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{2}{33} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{2}{33} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{4}{33}x+\left(\frac{2}{33}\right)^{2}=\frac{1}{132}+\left(\frac{2}{33}\right)^{2}$$

Egin \frac{2}{33} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{4}{33}x+\frac{4}{1089}=\frac{1}{132}+\frac{4}{1089}$$

Gehitu \frac{1}{132} eta \frac{4}{1089} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{4}{33}x+\frac{4}{1089}=\frac{49}{4356}$$

Atera x^{2}+\frac{4}{33}x+\frac{4}{1089} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{2}{33}\right)^{2}=\frac{49}{4356}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{33}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4356}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{2}{33}=\frac{7}{66} x+\frac{2}{33}=-\frac{7}{66}$$

Egin ken \frac{2}{33} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{1}{22} x=-\frac{1}{6}$$