Resolver 12345x^2+54321x-99999=0

$$12345 x ^ { 2 } + 54321 x - 99999 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{876524629} - 18107}{8230} \approx 1.397224621$$

$$x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}\approx -5.797467635$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$12345x^{2}+54321x-99999=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 12345 balioa a balioarekin, 54321 balioa b balioarekin, eta -99999 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-54321±\sqrt{54321^{2}-4\times 12345\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

Egin 54321 ber bi.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041-4\times 12345\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

Egin -4 bider 12345.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041-49380\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

Egin -49380 bider -99999.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041+4937950620}}{2\times 12345}$$

Gehitu 2950771041 eta 4937950620.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{7888721661}}{2\times 12345}$$

Atera 7888721661 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{2\times 12345}$$

Egin 2 bider 12345.

$$x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -54321 eta 3\sqrt{876524629}.

$$x=\frac{3\sqrt{876524629}-54321}{24690}$$

Zatitu -54321+3\sqrt{876524629} balioa 24690 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690} ekuazioa ± minus denean. Egin 3\sqrt{876524629} ken -54321.

$$x=\frac{-3\sqrt{876524629}-54321}{24690}$$

Zatitu -54321-3\sqrt{876524629} balioa 24690 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230} x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$12345x^{2}+54321x-99999=0$$

Gehitu 99999 ekuazioaren bi aldeetan.

$$12345x^{2}+54321x-99999-\left(-99999\right)=-\left(-99999\right)$$

-99999 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$12345x^{2}+54321x=-\left(-99999\right)$$

Egin -99999 ken 0.

$$12345x^{2}+54321x=99999$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12345 balioarekin.

$$\frac{12345x^{2}+54321x}{12345}=\frac{99999}{12345}$$

12345 balioarekin zatituz gero, 12345 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{54321}{12345}x=\frac{99999}{12345}$$

Murriztu \frac{54321}{12345} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x=\frac{99999}{12345}$$

Murriztu \frac{99999}{12345} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x=\frac{33333}{4115}$$

Zatitu \frac{18107}{4115} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{18107}{8230} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{18107}{8230} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\left(\frac{18107}{8230}\right)^{2}=\frac{33333}{4115}+\left(\frac{18107}{8230}\right)^{2}$$

Egin \frac{18107}{8230} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900}=\frac{33333}{4115}+\frac{327863449}{67732900}$$

Gehitu \frac{33333}{4115} eta \frac{327863449}{67732900} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900}=\frac{876524629}{67732900}$$

Atera x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{18107}{8230}\right)^{2}=\frac{876524629}{67732900}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{18107}{8230}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{876524629}{67732900}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{18107}{8230}=\frac{\sqrt{876524629}}{8230} x+\frac{18107}{8230}=-\frac{\sqrt{876524629}}{8230}$$

Egin ken \frac{18107}{8230} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230} x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$