Resolver 120x^2+8000x-92000=0

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76.666666667$$

$$x=10$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 40 balioarekin.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 3x^{2}+ax+bx-2300 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -6900 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

200 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-30 b=230$$

Berridatzi 3x^{2}+200x-2300 honela: \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta 230 bigarren taldean.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

Deskonposatu x-10 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-10=0 eta 3x+230=0.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 120 balioa a balioarekin, 8000 balioa b balioarekin, eta -92000 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Egin 8000 ber bi.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Egin -4 bider 120.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Egin -480 bider -92000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

Gehitu 64000000 eta 44160000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

Atera 108160000 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

Egin 2 bider 120.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-8000±10400}{240} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -8000 eta 10400.

$$x=\frac{2400}{240}$$

Zatitu 2400 balioa 240 balioarekin.

$$x=10$$

Orain, ebatzi x=\frac{-8000±10400}{240} ekuazioa ± minus denean. Egin 10400 ken -8000.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

Murriztu \frac{-18400}{240} zatikia gai txikienera, 80 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{230}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Gehitu 92000 ekuazioaren bi aldeetan.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

-92000 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

Egin -92000 ken 0.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 120 balioarekin.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

120 balioarekin zatituz gero, 120 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

Murriztu \frac{8000}{120} zatikia gai txikienera, 40 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

Murriztu \frac{92000}{120} zatikia gai txikienera, 40 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

Zatitu \frac{200}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{100}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{100}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Egin \frac{100}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

Gehitu \frac{2300}{3} eta \frac{10000}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

Atera x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

Egin ken \frac{100}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$