Resolver 12x^2-5x-3=0

$$12 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 12x^{2}+ax+bx-3 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-5 ab=12\left(-3\right)=-36$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -36 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

-5 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-9 b=4$$

Berridatzi 12x^{2}-5x-3 honela: \left(12x^{2}-9x\right)+\left(4x-3\right).

$$\left(12x^{2}-9x\right)+\left(4x-3\right)$$

Deskonposatu 3x 12x^{2}-9x taldean.

$$3x\left(4x-3\right)+4x-3$$

Deskonposatu 4x-3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(4x-3\right)\left(3x+1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 4x-3=0 eta 3x+1=0.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$12x^{2}-5x-3=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 12 balioa a balioarekin, -5 balioa b balioarekin, eta -3 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Egin -5 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Egin -4 bider 12.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-48\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Egin -48 bider -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\times 12}$$

Gehitu 25 eta 144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\times 12}$$

Atera 169 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\times 12}$$

-5 zenbakiaren aurkakoa 5 da.

$$x=\frac{5±13}{2\times 12}$$

Egin 2 bider 12.

$$x=\frac{5±13}{24}$$

Orain, ebatzi x=\frac{5±13}{24} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 5 eta 13.

$$x=\frac{18}{24}$$

Murriztu \frac{18}{24} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{3}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{5±13}{24} ekuazioa ± minus denean. Egin 13 ken 5.

$$x=-\frac{8}{24}$$

Murriztu \frac{-8}{24} zatikia gai txikienera, 8 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$12x^{2}-5x-3=0$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$12x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$12x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Egin -3 ken 0.

$$12x^{2}-5x=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$\frac{12x^{2}-5x}{12}=\frac{3}{12}$$

12 balioarekin zatituz gero, 12 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{3}{12}$$

Murriztu \frac{3}{12} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{1}{4}$$

Zatitu -\frac{5}{12} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{24} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{24} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{24} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{1}{4}+\frac{25}{576}$$

Gehitu \frac{1}{4} eta \frac{25}{576} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{169}{576}$$

Atera x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{169}{576}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{576}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{5}{24}=\frac{13}{24} x-\frac{5}{24}=-\frac{13}{24}$$

Gehitu \frac{5}{24} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{3}$$