Resolver 12x^2-2x+5=0

$$12 x ^ { 2 } - 2 x + 5 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}\approx 0.083333333+0.640095479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}\approx 0.083333333-0.640095479i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 12 balioa a balioarekin, -2 balioa b balioarekin, eta 5 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Egin -2 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Egin -4 bider 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48\times 5}}{2\times 12}$$

Egin -48 bider 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-240}}{2\times 12}$$

Gehitu 4 eta -240.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-236}}{2\times 12}$$

Atera -236 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

-2 zenbakiaren aurkakoa 2 da.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

Egin 2 bider 12.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24}$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 2 eta 2i\sqrt{59}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{59}i}{24}$$

Zatitu 2+2i\sqrt{59} balioa 24 balioarekin.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24} ekuazioa ± minus denean. Egin 2i\sqrt{59} ken 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{59}i+2}{24}$$

Zatitu 2-2i\sqrt{59} balioa 24 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$12x^{2}-2x+5-5=-5$$

5 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$12x^{2}-2x=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$\frac{12x^{2}-2x}{12}=-\frac{5}{12}$$

12 balioarekin zatituz gero, 12 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{12}\right)x=-\frac{5}{12}$$

Murriztu \frac{-2}{12} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=-\frac{5}{12}$$

Zatitu -\frac{1}{6} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{12} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{12} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{12} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{5}{12}+\frac{1}{144}$$

Gehitu -\frac{5}{12} eta \frac{1}{144} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{59}{144}$$

Atera x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{59}{144}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{59}{144}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{\sqrt{59}i}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{\sqrt{59}i}{12}$$

Gehitu \frac{1}{12} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$