Resolver 12x^2-12x-6=0

$$12 x ^ { 2 } - 12 x - 6 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1.366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0.366025404$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$12x^{2}-12x-6=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 12 balioa a balioarekin, -12 balioa b balioarekin, eta -6 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 12\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Egin -12 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 12\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Egin -4 bider 12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-48\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Egin -48 bider -6.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+288}}{2\times 12}$$

Gehitu 144 eta 288.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{432}}{2\times 12}$$

Atera 432 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±12\sqrt{3}}{2\times 12}$$

-12 zenbakiaren aurkakoa 12 da.

$$x=\frac{12±12\sqrt{3}}{2\times 12}$$

Egin 2 bider 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24}$$

Orain, ebatzi x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 12 eta 12\sqrt{3}.

$$x=\frac{12\sqrt{3}+12}{24}$$

Zatitu 12+12\sqrt{3} balioa 24 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24} ekuazioa ± minus denean. Egin 12\sqrt{3} ken 12.

$$x=\frac{12-12\sqrt{3}}{24}$$

Zatitu 12-12\sqrt{3} balioa 24 balioarekin.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$12x^{2}-12x-6=0$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$12x^{2}-12x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

-6 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$12x^{2}-12x=-\left(-6\right)$$

Egin -6 ken 0.

$$12x^{2}-12x=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$\frac{12x^{2}-12x}{12}=\frac{6}{12}$$

12 balioarekin zatituz gero, 12 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{12}\right)x=\frac{6}{12}$$

Zatitu -12 balioa 12 balioarekin.

$$x^{2}-x=\frac{6}{12}$$

Murriztu \frac{6}{12} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Zatitu -1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Gehitu \frac{1}{2} eta \frac{1}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Atera x^{2}-x+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Gehitu \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$