Resolver 12x^2+48x+45=0

$$12 x ^ { 2 } + 48 x + 45 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$4x^{2}+16x+15=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 4x^{2}+ax+bx+15 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=16 ab=4\times 15=60$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Zerrendatu 60 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

16 batura duen parea da soluzioa.

$$a=6 b=10$$

Berridatzi 4x^{2}+16x+15 honela: \left(4x^{2}+6x\right)+\left(10x+15\right).

$$\left(4x^{2}+6x\right)+\left(10x+15\right)$$

Deskonposatu 2x lehen taldean, eta 5 bigarren taldean.

$$2x\left(2x+3\right)+5\left(2x+3\right)$$

Deskonposatu 2x+3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(2x+3\right)\left(2x+5\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 2x+3=0 eta 2x+5=0.

$$x=-\frac{3}{2} x=-\frac{5}{2}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$12x^{2}+48x+45=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 12 balioa a balioarekin, 48 balioa b balioarekin, eta 45 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 12\times 45}}{2\times 12}$$

Egin 48 ber bi.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 12\times 45}}{2\times 12}$$

Egin -4 bider 12.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-48\times 45}}{2\times 12}$$

Egin -48 bider 45.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-2160}}{2\times 12}$$

Gehitu 2304 eta -2160.

$$x=\frac{-48±\sqrt{144}}{2\times 12}$$

Atera 144 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-48±12}{2\times 12}$$

Egin 2 bider 12.

$$x=\frac{-48±12}{24}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-48±12}{24} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -48 eta 12.

$$x=-\frac{36}{24}$$

Murriztu \frac{-36}{24} zatikia gai txikienera, 12 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-48±12}{24} ekuazioa ± minus denean. Egin 12 ken -48.

$$x=-\frac{60}{24}$$

Murriztu \frac{-60}{24} zatikia gai txikienera, 12 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-\frac{3}{2} x=-\frac{5}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$12x^{2}+48x+45=0$$

Egin ken 45 ekuazioaren bi aldeetan.

$$12x^{2}+48x+45-45=-45$$

45 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$12x^{2}+48x=-45$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$\frac{12x^{2}+48x}{12}=-\frac{45}{12}$$

12 balioarekin zatituz gero, 12 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{48}{12}x=-\frac{45}{12}$$

Zatitu 48 balioa 12 balioarekin.

$$x^{2}+4x=-\frac{45}{12}$$

Murriztu \frac{-45}{12} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+4x=-\frac{15}{4}$$

Zatitu 4 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta 2 lortuko duzu. Ondoren, gehitu 2 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+4x+2^{2}=-\frac{15}{4}+2^{2}$$

Egin 2 ber bi.

$$x^{2}+4x+4=-\frac{15}{4}+4$$

Gehitu -\frac{15}{4} eta 4.

$$x^{2}+4x+4=\frac{1}{4}$$

Atera x^{2}+4x+4 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+2\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x+2=\frac{1}{2} x+2=-\frac{1}{2}$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{3}{2} x=-\frac{5}{2}$$