Resolver 12r^2-11r-15=0

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

Ebatzi: r

$$r=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 12r^{2}+ar+br-15 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -180 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

-11 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-20 b=9$$

Berridatzi 12r^{2}-11r-15 honela: \left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right).

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

Deskonposatu 4r lehen taldean, eta 3 bigarren taldean.

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

Deskonposatu 3r-5 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 3r-5=0 eta 4r+3=0.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 12 balioa a balioarekin, -11 balioa b balioarekin, eta -15 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Egin -11 ber bi.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Egin -4 bider 12.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Egin -48 bider -15.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

Gehitu 121 eta 720.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

Atera 841 balioaren erro karratua.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

-11 zenbakiaren aurkakoa 11 da.

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

Egin 2 bider 12.

$$r=\frac{11±29}{24}$$

Orain, ebatzi r=\frac{11±29}{24} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 11 eta 29.

$$r=\frac{40}{24}$$

Murriztu \frac{40}{24} zatikia gai txikienera, 8 bakanduta eta ezeztatuta.

$$r=\frac{5}{3}$$

Orain, ebatzi r=\frac{11±29}{24} ekuazioa ± minus denean. Egin 29 ken 11.

$$r=-\frac{18}{24}$$

Murriztu \frac{-18}{24} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$r=-\frac{3}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Gehitu 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

Egin -15 ken 0.

$$12r^{2}-11r=15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

12 balioarekin zatituz gero, 12 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

Murriztu \frac{15}{12} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

Zatitu -\frac{11}{12} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{11}{24} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{11}{24} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

Egin -\frac{11}{24} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

Gehitu \frac{5}{4} eta \frac{121}{576} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

Atera r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

Sinplifikatu.

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

Gehitu \frac{11}{24} ekuazioaren bi aldeetan.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$