Resolver 12z^2-7z-12

$$12 { z }^{ 2 } -7z-12$$

Faktorizatu

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Ebazpidea

Faktorizatu adierazpena taldekatzea erabilita. Lehenik, adierazpena 12z^{2}+az+bz-12 gisa idatzi behar da. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-7 ab=12\left(-12\right)=-144$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -144 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

-7 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-16 b=9$$

Berridatzi 12z^{2}-7z-12 honela: \left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right).

$$\left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right)$$

Deskonposatu 4z lehen taldean, eta 3 bigarren taldean.

$$4z\left(3z-4\right)+3\left(3z-4\right)$$

Deskonposatu 3z-4 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Polinomio koadratikoa faktorizatzeko, eraldaketa hau erabil daiteke: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Bertan, x_{1} eta x_{2} dira ax^{2}+bx+c=0 ekuazio koadratikoaren soluzioak.

$$12z^{2}-7z-12=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Egin -7 ber bi.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Egin -4 bider 12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Egin -48 bider -12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+576}}{2\times 12}$$

Gehitu 49 eta 576.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

Atera 625 balioaren erro karratua.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±25}{2\times 12}$$

-7 zenbakiaren aurkakoa 7 da.

$$z=\frac{7±25}{2\times 12}$$

Egin 2 bider 12.

$$z=\frac{7±25}{24}$$

Orain, ebatzi z=\frac{7±25}{24} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 7 eta 25.

$$z=\frac{32}{24}$$

Murriztu \frac{32}{24} zatikia gai txikienera, 8 bakanduta eta ezeztatuta.

$$z=\frac{4}{3}$$

Orain, ebatzi z=\frac{7±25}{24} ekuazioa ± minus denean. Egin 25 ken 7.

$$z=-\frac{18}{24}$$

Murriztu \frac{-18}{24} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$z=-\frac{3}{4}$$

Faktorizatu jatorrizko adierazpena ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) erabilita. Ordeztu \frac{4}{3} x_{1} faktorean, eta -\frac{3}{4} x_{2} faktorean.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Sinplifikatu p-\left(-q\right) motako adierazpen guztiak p+q gisa.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

Egin \frac{4}{3} ken z izendatzaile komuna aurkitu, eta zenbakitzaileen arteko kenketa eginda. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

Gehitu \frac{3}{4} eta z izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\times \frac{4z+3}{4}$$

Egin \frac{3z-4}{3} bider \frac{4z+3}{4}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{3\times 4}$$

Egin 3 bider 4.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{12}$$

Deuseztatu 12 eta 12 balioen faktore komunetan handiena (12).

$$12z^{2}-7z-12=\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Ebaluatu

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$