Resolver 12x^2-88x+400=0

$$12 { x }^{ 2 } -88x+400 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{179}i}{3}\approx 3.666666667+4.459696053i$$

$$x=\frac{-\sqrt{179}i+11}{3}\approx 3.666666667-4.459696053i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$12x^{2}-88x+400=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 12 balioa a balioarekin, -88 balioa b balioarekin, eta 400 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{\left(-88\right)^{2}-4\times 12\times 400}}{2\times 12}$$

Egin -88 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{7744-4\times 12\times 400}}{2\times 12}$$

Egin -4 bider 12.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{7744-48\times 400}}{2\times 12}$$

Egin -48 bider 400.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{7744-19200}}{2\times 12}$$

Gehitu 7744 eta -19200.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{-11456}}{2\times 12}$$

Atera -11456 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±8\sqrt{179}i}{2\times 12}$$

-88 zenbakiaren aurkakoa 88 da.

$$x=\frac{88±8\sqrt{179}i}{2\times 12}$$

Egin 2 bider 12.

$$x=\frac{88±8\sqrt{179}i}{24}$$

Orain, ebatzi x=\frac{88±8\sqrt{179}i}{24} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 88 eta 8i\sqrt{179}.

$$x=\frac{88+8\sqrt{179}i}{24}$$

Zatitu 88+8i\sqrt{179} balioa 24 balioarekin.

$$x=\frac{11+\sqrt{179}i}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{88±8\sqrt{179}i}{24} ekuazioa ± minus denean. Egin 8i\sqrt{179} ken 88.

$$x=\frac{-8\sqrt{179}i+88}{24}$$

Zatitu 88-8i\sqrt{179} balioa 24 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{179}i+11}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{11+\sqrt{179}i}{3} x=\frac{-\sqrt{179}i+11}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$12x^{2}-88x+400=0$$

Egin ken 400 ekuazioaren bi aldeetan.

$$12x^{2}-88x+400-400=-400$$

400 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$12x^{2}-88x=-400$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$\frac{12x^{2}-88x}{12}=-\frac{400}{12}$$

12 balioarekin zatituz gero, 12 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{88}{12}\right)x=-\frac{400}{12}$$

Murriztu \frac{-88}{12} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{400}{12}$$

Murriztu \frac{-400}{12} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{100}{3}$$

Zatitu -\frac{22}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{11}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{11}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{100}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{11}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{100}{3}+\frac{121}{9}$$

Gehitu -\frac{100}{3} eta \frac{121}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{179}{9}$$

Atera x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{179}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{179}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{\sqrt{179}i}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{\sqrt{179}i}{3}$$

Gehitu \frac{11}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{11+\sqrt{179}i}{3} x=\frac{-\sqrt{179}i+11}{3}$$