Resolver 12x^2+25x-45=0

$$12 { x }^{ 2 } +25x-45=0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{2785} - 25}{24} \approx 1.157212467$$

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}\approx -3.2405458$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$12x^{2}+25x-45=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 12 balioa a balioarekin, 25 balioa b balioarekin, eta -45 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Egin 25 ber bi.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Egin -4 bider 12.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-48\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Egin -48 bider -45.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+2160}}{2\times 12}$$

Gehitu 625 eta 2160.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{2\times 12}$$

Egin 2 bider 12.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -25 eta \sqrt{2785}.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{2785} ken -25.

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$12x^{2}+25x-45=0$$

Gehitu 45 ekuazioaren bi aldeetan.

$$12x^{2}+25x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

-45 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$12x^{2}+25x=-\left(-45\right)$$

Egin -45 ken 0.

$$12x^{2}+25x=45$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$\frac{12x^{2}+25x}{12}=\frac{45}{12}$$

12 balioarekin zatituz gero, 12 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{45}{12}$$

Murriztu \frac{45}{12} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{15}{4}$$

Zatitu \frac{25}{12} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{25}{24} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{25}{24} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

Egin \frac{25}{24} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{15}{4}+\frac{625}{576}$$

Gehitu \frac{15}{4} eta \frac{625}{576} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{2785}{576}$$

Atera x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{2785}{576}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2785}{576}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{25}{24}=\frac{\sqrt{2785}}{24} x+\frac{25}{24}=-\frac{\sqrt{2785}}{24}$$

Egin ken \frac{25}{24} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$