Resolver 12x^2+13x+3=0

$$12 { x }^{ 2 } +13x+3 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 12x^{2}+ax+bx+3 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=13 ab=12\times 3=36$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Zerrendatu 36 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

13 batura duen parea da soluzioa.

$$a=4 b=9$$

Berridatzi 12x^{2}+13x+3 honela: \left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right)$$

Deskonposatu 4x lehen taldean, eta 3 bigarren taldean.

$$4x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Deskonposatu 3x+1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3x+1\right)\left(4x+3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 3x+1=0 eta 4x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 12 balioa a balioarekin, 13 balioa b balioarekin, eta 3 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

Egin 13 ber bi.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

Egin -4 bider 12.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-48\times 3}}{2\times 12}$$

Egin -48 bider 3.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-144}}{2\times 12}$$

Gehitu 169 eta -144.

$$x=\frac{-13±\sqrt{25}}{2\times 12}$$

Atera 25 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-13±5}{2\times 12}$$

Egin 2 bider 12.

$$x=\frac{-13±5}{24}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-13±5}{24} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -13 eta 5.

$$x=-\frac{8}{24}$$

Murriztu \frac{-8}{24} zatikia gai txikienera, 8 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-13±5}{24} ekuazioa ± minus denean. Egin 5 ken -13.

$$x=-\frac{18}{24}$$

Murriztu \frac{-18}{24} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$12x^{2}+13x+3-3=-3$$

3 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$12x^{2}+13x=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$\frac{12x^{2}+13x}{12}=-\frac{3}{12}$$

12 balioarekin zatituz gero, 12 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{3}{12}$$

Murriztu \frac{-3}{12} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{1}{4}$$

Zatitu \frac{13}{12} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{13}{24} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{13}{24} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}$$

Egin \frac{13}{24} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=-\frac{1}{4}+\frac{169}{576}$$

Gehitu -\frac{1}{4} eta \frac{169}{576} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{25}{576}$$

Atera x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{25}{576}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{576}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{13}{24}=\frac{5}{24} x+\frac{13}{24}=-\frac{5}{24}$$

Egin ken \frac{13}{24} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$